Geometrische Brownian Bewegung Forexworld

Monte Carlo Simulation mit GBM Eine der häufigsten Möglichkeiten zur Risikoabschätzung ist der Einsatz einer Monte-Carlo-Simulation (MCS). Um beispielsweise den Value at Risk (VaR) eines Portfolios zu berechnen, können wir eine Monte-Carlo-Simulation durchführen, die versucht, den wahrscheinlichsten Verlust eines Portfolios mit einem Konfidenzintervall über einen bestimmten Zeithorizont vorauszusagen Bedingungen für VaR: Vertrauen und Horizont. (VAR) - Teil 1 und Teil 2.) In diesem Artikel werden wir eine grundlegende MCS auf einen Aktienkurs angewendet zu überprüfen. (Lesen Sie weiter, die Verwendung und Grenzen der Volatilität und Einführung in Value at Risk (VAR) Wir brauchen ein Modell, um das Verhalten des Aktienkurses festzulegen, und verwenden Sie eines der gebräuchlichsten Modelle in der Finanzierung: geometrische Brownsche Bewegung (GBM). Während die Monte-Carlo-Simulation auf ein Universum verschiedener Ansätze zur Simulation verweisen kann, werden wir hier mit den einfachsten beginnen. Wo soll ich anfangen? Eine Monte-Carlo-Simulation ist ein Versuch, die Zukunft um ein Vielfaches vorauszusagen. Am Ende der Simulation produzieren Tausende oder Millionen von Zufallsversuchen eine Verteilung der Ergebnisse, die analysiert werden können. Die grundlegenden Schritte sind: 1. Geben Sie ein Modell an (zB geometrische Brownsche Bewegung) 2. Erzeugen Sie zufällige Versuche 3. Verarbeiten Sie die Ausgabe 1. Geben Sie ein Modell an (zB GBM) In diesem Artikel verwenden wir die geometrische Brownsche Bewegung (GBM) Was technisch ein Markov-Prozess ist. Dies bedeutet, dass der Aktienkurs einer zufälligen Wanderung folgt und mit (zumindest) der schwachen Form der effizienten Markthypothese (EMH) übereinstimmt: Vergangene Kursinformationen sind bereits enthalten und die nächste Kursbewegung ist bedingt unabhängig von vergangenen Kursbewegungen . (Für mehr über EMH, lesen Sie durch die effiziente Markt-Hypothese und was ist Markt-Effizienz) Die Formel für GBM ist unten, wo S ist der Aktienkurs, m (die griechische mu) ist die erwartete Rendite. S (griechisches Sigma) ist die Standardabweichung der Rückkehr, t ist Zeit und e (griech. Epsilon) ist die Zufallsvariable. Wenn wir die Formel neu anordnen, um nur für die Änderung des Aktienkurses zu lösen, sehen wir, dass GMB sagt, dass die Änderung des Aktienkurses der Aktienkurs S multipliziert mit den beiden Begriffen innerhalb der Klammer unten ist: Der erste Begriff ist eine Drift und die zweite Begriff ist ein Schock. Für jeden Zeitraum geht unser Modell davon aus, dass der Preis durch die erwartete Rendite driftet. Aber die Drift wird schockiert (addiert oder subtrahiert) durch einen zufälligen Schock. Der Zufallsschock ist die Standardabweichung s, multipliziert mit einer Zufallszahl e. Dies ist einfach eine Möglichkeit, die Standardabweichung zu skalieren. Das ist die Essenz von GBM, wie in Abbildung 1 dargestellt. Der Aktienkurs folgt einer Reihe von Schritten, wobei jeder Schritt ein Drift plusminus ein zufälliger Schock ist (selbst eine Funktion der Bestände Standardabweichung): Basic Theory Geometrische Brownsche Bewegung und Andere stochastische Prozesse, die daraus gebaut werden, werden häufig verwendet, um Bevölkerungswachstum, finanzielle Prozesse (wie den Preis einer Aktie im Laufe der Zeit) zu modellieren, vorbehaltlich eines zufälligen Lärms. Definition Nehmen wir an, dass (bs) eine standardmäßige Brownsche Bewegung ist und dass (mu in R) und (sigma in (0, infty)). Der stochastische Prozeß (bs) ist eine geometrische Brownsche Bewegung mit Driftparameter (mu) und Volatilitätsparameter (Sigma). Es sei Xt exatreverse (mu - frac rechts) t sigma Ztright, quad t in 0, infty) (Sigma2 2) und Skalierungsparameter (Sigma), so dass die geometrische Brownsche Bewegung einfach der exponentielle Aspekt dieses Prozesses ist. Insbesondere ist der Prozess immer positiv, einer der Gründe, dass geometrische Brown'sche Bewegung verwendet wird, um finanzielle und andere Prozesse, die nicht negativ sein können, zu modellieren. Beachten Sie auch, dass (X0 1), so dass der Prozess beginnt bei 1, aber wir können dies leicht ändern. Für (x0 in (0, infty)) ist der Prozess () eine geometrische Brown'sche Bewegung, beginnend bei (x0). Sie können sich über die jeweilige Kombination von Parametern (mu - sigma2 2) in der Definition wundern. Die kurze Antwort auf die Frage ist in folgendem Satz dargestellt: Die geometrische Brownsche Bewegung (bs) erfüllt die stochastische Differentialgleichung d, Xt mu Xt, dt sigma Xt, dZt Beachten Sie, dass der deterministische Teil dieser Gleichung die Standarddifferenzialgleichung für exponentiell ist Wachstum oder Zerfall, mit Rate-Parameter (mu). Führen Sie die Simulation der geometrischen Brownschen Bewegung mehrmals im Einzelschrittmodus für verschiedene Werte der Parameter aus. Beachten Sie das Verhalten des Prozesses. Die Verteilungen (f) steigen und fallen dann mit (x expleftleft (mu - frac sigma2right) tright) nach oben, dann nach unten, dann nach oben mit Wendepunkten bei (x expleft (mu - sigma2) t pm frac) (Sigma sqrt rechts) Beweis: Da die Variable (Ut left (mu - sigma2 2right) t sigma Zt) die Normalverteilung mit Mittelwert ((mu - sigma22) t) und Standardabweichung (Sigma sqrt) hat, folgt (Xt exp (Ut)) die logarithmische Verteilung mit diesen Parametern hat. Diese Ergebnisse für die PDF folgen dann direkt aus den entsprechenden Ergebnissen für die lognormal PDF. Insbesondere ist die geometrische Brownsche Bewegung kein Gaußscher Prozeß. Öffnen Sie die Simulation der geometrischen Brownschen Bewegung. Variieren Sie die Parameter und beachten Sie die Form der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion von (Xt). Führen Sie für verschiedene Werte der Parameter die Simulation 1000 mal aus und vergleichen Sie die empirische Dichtefunktion mit der wahren Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion. Für (t in (0, infty)) ist die Verteilungsfunktion (Ft) von (Xt) gegeben durch Ft (x) Phileftfrac rechts, quad x in (0, infty) wobei (Phi) die normale Normalverteilungsfunktion ist. Dies folgt wiederum direkt aus dem CDF der lognormalen Verteilung. Für (t in (0, infty)) ist die Quantilfunktion (Ft) von (Xt) gegeben durch Ft (p) expleft (mu - sigma2 2) t sigma sqrt Phi (p) 1) wobei (Phi) die normale Standard-Quantilfunktion ist. Dies folgt direkt aus der logarithmischen Quantilfunktion. Für (n in N) und (t in 0, infty), (Eleft (Xtnright) e) Dies folgt aus der Formel für die Momente der lognormalen Verteilung. Für (t in 0, infty) ist insbesondere zu beachten, daß die mittlere Funktion (m (t) E (Xt) e) für (t in 0, infty) den deterministischen Teil der obigen stochastischen Differentialgleichung erfüllt. Öffnen Sie die Simulation der geometrischen Brownschen Bewegung. Der Graph der mittleren Funktion (m) wird als blaue Kurve in der Hauptgrafik dargestellt. Führen Sie für verschiedene Werte der Parameter die Simulation 1000 mal aus und beachten Sie das Verhalten des Zufallsprozesses in Bezug auf die Mittelfunktion. Öffnen Sie die Simulation der geometrischen Brownschen Bewegung. Variieren Sie die Parameter und beachten Sie die Größe und Position der mittleren (PM) Standardabweichung bar für (Xt). Führen Sie für verschiedene Werte des Parameters die Simulation 1000 mal durch und vergleichen Sie das empirische Mittel und die Standardabweichung mit der wahren Mittelwert - und Standardabweichung. Eigenschaften Der Parameter (mu - sigma2 2) bestimmt das asymptotische Verhalten der geometrischen Brownschen Bewegung. Wenn (mu gt sigma2 2) dann (Xt bis infty) als (t bis infty) mit der Wahrscheinlichkeit 1 gilt. Ist (mu lt sigma2 2) dann (Xt bis 0) als (t bis infty) mit der Wahrscheinlichkeit 1. Wenn (mu sigma2 2), dann hat (Xt) keine Begrenzung als (t bis infty) mit Wahrscheinlichkeit 1. Beweis: Diese Ergebnisse folgen aus dem Gesetz des iterativen Logarithmus. Asymptotisch dominiert der Term (left (mu - sigma2 2right) t) den Term (sigma Zt) als (t bis infty). Wenn der Driftparameter 0 ist, ist die geometrische Brownsche Bewegung ein Martingal. Wenn (mu 0) die geometrische Brownsche Bewegung (bs) ein Martingal in Bezug auf die darunterliegende Brownsche Bewegung (bs) ist. Beweis aus stochastischen Integralen Dies ist der einfachste Beweis. Wenn (mu 0), (bs) die stochastische Differentialgleichung (d, Xt sigma Xt, dZt) und damit Xt erfüllt ist. Der Prozess, der mit einem stochastischen Integral assoziiert ist, ist immer ein Martingal, wobei die üblichen Annahmen über den Integrandprozess angenommen werden (die hier erfüllt sind). Sei (mathscr t sigma) für (t in 0, infty)), so daß (mathfrak t: t in 0, infty)) die natürliche Filtration ist, die mit (bs) assoziiert ist. Es sei (s, t in 0, infty)) mit (s le t). Wir verwenden unseren üblichen Trick des Schreibens (Zt Zs (Zt - Zs)), um die stationären und unabhängigen Inkrementeigenschaften von Brown'schen Bewegungen zu nutzen. Somit ist Xt expleft-frac t sigma Zs sigma (Zt - Zs) rechts Da (Zs) in bezug auf (mathscr s) messbar ist und (Zt - Zs) unabhängig von (mathscr s) ist, haben wir Eleft (Xt mid mathscr sright (Zt - Zs) rechts Aber (Zt - Zs) hat die Normalverteilung mit Mittelwert 0 und Varianz (t - s), also aus der Formel für die momentane Generatorfunktion der Normalverteilung , So erhält man Eleftigma (Zt - Zs) rechts expleftfrac (t - s) rechts Substitution gibt Eleft (Xt mid mathscr sright) expleft (-frac s sigma Zsright) Xs